任何三角形要点、外心与垂心共线，称为欧拉线，那欧拉线长度是若干呢，今天来求一下。

如下图，若△ABC为锐角三角形，HO为欧拉线，衔接AH交BC于E，则AE⊥BC，作OD⊥BC于D，则D为BC中点。作OF⊥AE于F，衔接OA、OB、OC，则有AO=BO=CO=R，DO=EF=RcosA(圆心角与圆周角2倍继续)，HA=2DO=2EF(不错看夙昔发的对于欧拉线的著作，不再赘述)，其中R为△ABC外接圆半径。

OF²=AO²-AF²=AO²-(AE-EF)²

=R²-(AB·sinB-RcosA)²

=R²-(2RsinCsinB+Rcos(B+C))²

=R²-(RsinCsinB+RcosBcocC)²

=R²-R²cos²(B-C)

=R²sin²(B-C)

HF=AE-AH-EF=AE-3DO

=2RsinCsinB-3RcosA

HO²=OF²+HF²

=R²sin²(B-C)+R²(2sinCsinB-3cosA)²

=R²(1-8cosAcosBcosC)

是以HO=R√(1-8cosAcosBcosC)

若△ABC为钝角三角形，如下图，∠A＞90°，HO是欧拉线，衔接AH交BC于E，则有AE⊥BC，其余援助线同上，与锐角三角形不同的是，∠COD=180°-∠A，相似DO=EF，ED=FO，DO=-RcosA。

HF=HA+AE+EF=AE+3OD

=AB·sinB-3RcosA

=2RsinCsinB-3RcosA

BE=AB·cosB=2RsinCcosB

ED=BE-BD=BC/2-2RsinCcosB

=RsinA-2RsinCcosB

HO²=HF²+ED²(因为ED=FO)

=R²(2sinCsinB-3cosA)+R²(sinA-2sinCcosB)

=R²(1+8cos²A-8cosAsinBsinC)

=R²(1+8cosA(cosA-sinBsinC))

=R²(1-8cosA(-cos(B+C)-sinBsinC))

=R²(1-8cosAcosBcosC)

是以HO=R√(1-8cosAcosBcosC)

若△ABC为直角三角形，如∠B=90°，B点即为H点，AC中点即为O点，HO=R。

以上公式仍然适用，cosB=cos90°=0，代入公式得HO=R。

又如△ABC为正三角形，三心合一，是以有HO=0，公式仍建造。

HO=R√(1-8cosAcosBcosC)

=R√(1-8cos60°cos60°cos60°)

=R√(1-1)=0。